El apóstol de los números

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Hay una forma simple y elegante de demostrar que, como vimos la semana pasada, la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… tiende a 2, que consiste sencillamente en multiplicarla por 2:

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…

2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…

2S = 2 + S

y por lo tanto S = 2.

Algo menos sencilla, pero asequible sin necesidad de conocimientos matemáticos, es la demostración de que la serie armónica es divergente, o sea, que crece indefinidamente. Si agrupamos sus términos de este modo:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + …

vemos que todos los paréntesis son mayores que 1/2, y puesto que la serie

1 + 1/2 + 1/2 + 1/2…

crece indefinidamente, también lo hará la serie armónica. Esta elegante demostración fue aportada en el siglo XIV por el gran Nicolás de Oresme, uno de los precursores de la ciencia moderna.

Tom Mike Apostol

Y hablando de grandes, el año pasado falleció un gran matemático estadounidense de origen griego que hizo honor a su nombre, puesto que un apóstol es un propagador de ideas, y Tom Apostol, cuyo Análisis matemático (entre otros muchos títulos) es ya un clásico de obligada consulta, desarrolló una labor fundamental en el campo de la pedagogía, sobre todo en relación con la teoría de números.

Casualmente (o tal vez no), nuestro “usuario destacado” Francisco Montesinos mencionaba la semana pasada (ver sección de comentarios) un problema “apostólico” sacado de la Introducción a la teoría analítica de números, que propongo a nuestras/os sagaces lectoras/es como pequeño homenaje a este gran maestro de matemáticos recientemente fallecido. Se trata de demostrar que la suma de los n primeros términos de la serie armónica, o sea

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5… + 1/n

no es un número entero para ningún valor de n. Una vez más, se trata de encontrar una demostración sencilla e ingeniosa que no requiera grandes conocimientos matemáticos. Y también será bien recibida cualquier variante de la serie armónica o cuestión relacionada con ella.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.