Avances en el problema del milenio de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes son a la vez eminentemente prácticas, con un sinfín de aplicaciones reales, y el origen de uno de los más difíciles y famosos problemas puramente matemáticos de solución aún desconocida [NASA, fragmento].

Las ecuaciones de Navier-Stokes captan en unos pocos, concisos términos uno de los rasgos más ubicuos del mundo físico: el fluir de los fluidos. Las ecuaciones, que datan de la década de 1820, se usan hoy  para modelizar de todo, de las corrientes oceánicas a la turbulencia en la estela de un avión o el flujo de sangre en el corazón.

Los físicos creen que son unas ecuaciones con una fiabilidad a prueba de bomba. Los matemáticos, en cambio, las miran con suspicacia. Para los matemáticos no significa gran cosa que parezca que funcionan. Quieren una prueba de su infabilidad, de que, no importa de qué fluido se trate, no importa para cuán lejos en el futuro se prediga su flujo, las matemáticas de las ecuaciones seguirán valiendo. Esa garantía ha ido escapándoseles. El primero (o el primer equipo) en demostrar que las ecuaciones de Navier-Stokes funcionan siempre, o en dar un ejemplo de que no, ganará el premio de un millón de dolares que el Instituto Clay de Matemáticas ofrece a quienes lo logren, como uno de los llamados siete problemas del milenio.

Los matemáticos han creado muchas formas de intentar resolver el problema. Un nuevo trabajo publicado en Internet en septiembre de 2017 suscita serias dudas acerca de si uno de los principales entre esos enfoques, que se ha ido siguiendo a lo largo del tiempo, podrá tener éxito. El artículo, de Tristan Buckmaster y Vlad Vicol, de la Universidad de Princeton, es el primer resultado que ha encontrado que, bajo ciertos supuestos, las ecuaciones de Navier-Stokes proporcionan descripciones incongruentes del mundo físico.

«Vamos haciéndonos una idea de los problemas inherentes a estas ecuaciones y de por qué es muy posible que haya que repensarlas», dice Buckmaster.

 El trabajo de Buckmaster y Vicol muestra que cuando se permite que las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes sean de trazo grueso (más como un boceto que como una fotografía), las ecuaciones empiezan a arrojar resultados que no tienen sentido: dicen que el mismo fluido, a partir de las mismas condiciones de partida, puede acabar en dos (o más) estados muy diferentes. Podría fluir de una forma o de otra completamente diferente. Si fuera así, las ecuaciones no reflejarían  fiablemente el mundo físico para cuya descripción fueron concebidas.

 Ecuaciones que explotan

Para ver cómo pueden fallar las ecuaciones, imaginemos primero el flujo de una corriente oceánica. Dentro de ellas puede haber una multitud de corrientes entrecruzadas, con unas partes que se mueven en una dirección a una velocidad y otras que se mueven en otras direcciones a otras velocidades. Estas corrientes entrecruzadas interaccionan unas con otras en un juego mutuo, que evoluciona sin cesar, de la fricción y la presión del agua y que determina la manera en que fluirá el flujo.

Los matemáticos modelizan ese juego mutuo con un mapa que nos dice la dirección y la magnitud de la corriente en cada posición del fluido. Este mapa, que recibe el nombre de campo vectorial, es una instantánea de la dinámica interna de un fluido. Las ecuaciones de Navier-Stokes toman esa instantánea y la ponen en marcha hacia delante en el tiempo, de modo que nos dicen cómo será ese campo vectorial en cada momento subsiguiente.

Las ecuaciones funcionan. Describen los flujos de fluido con tanta fiabilidad como las de Newton predicen las posiciones en el futuro de  los planetas; los físicos las emplean sin parar, y una y otra vez coinciden con los resultados experimentales. Los matemáticos, sin embargo, quieren algo más que una confirmación anecdótica: quieren una prueba de que las ecuaciones son inviolables, de que no importa cuál sea el campo vectorial del que se parta, y de que no importa lo lejos en el futuro en que sigan poniéndolo en marcha, las ecuaciones siempre nos darán un campo vectorial único.

Ese es el asunto del correspondiente problema del milenio: pregunta si las ecuaciones de Navier-Stokes tienen soluciones (donde las soluciones son en esencial campos vectoriales) para todos los puntos de partida y todos los momentos de tiempo. Esas soluciones han de ofrecer la dirección exacta y la magnitud de la corriente en cada punto del fluido. Las soluciones que proporcionan información de una resolución tan infinitamente grande se llaman «lisas» o «suaves». Con una solución suave, cada punto del campo tiene un vector asociado que nos permite viajar «suavemente» por el campo sin atascarnos nunca en un punto que no tenga un vector, un punto en el que no sepamos a dónde ir a continuación.

Las soluciones lisas son una representación completa del mundo físico, pero matemáticamente hablando podrían no existir siempre. A los matemáticos que trabajan con ecuaciones como la de Navier-Stokes les preocupa este tipo de situación: se ponen en marcha las ecuaciones de Navier-Stokes y se observa cómo cambia un campo vectorial, pero tras una lapso finito de tiempo las ecuaciones nos dicen que una partícula del fluido se está moviendo infinitamente deprisa. Eso es un problema. Las ecuaciones suponen la medición de cambios en propiedades como la presión, la fricción y la velocidad en el fluido (en la jerga, sacan «derivadas» de esas magnitudes), pero no es posible sacar la derivada de un valor infinito más de lo que lo es dividir por cero. Así que si las ecuaciones producen un valor infinito, podremos decir que las ecuaciones han fallado, o que han «explotado». Ya no describen los estados subsiguientes de nuestro fluido.

Que exploten es también un fuerte indicio de que a nuestras ecuaciones les falta algo correspondiente a ese mundo físico que se supone que describen. «Quizá la ecuación no esté captando todos los efectos del fluido real porque en un fluido real no esperamos» que las partículas puedan llegar nunca a moverse a una velocidad infinita, dice Buckmaster.

Para resolver el problema del milenio hay que mostrar que las ecuaciones de Navier-Stokes no explotan nunca o encontrar las circunstancias en que lo hacen. Una estrategia que los matemáticos han seguido consiste en relajar primero la precisión con que se exige que las ecuaciones describan las realidad.

De débil a suave

Cuando los matemáticos estudian ecuaciones como las de Navier-Stokes, a veces empiezan por ensanchar la definición de qué cuenta como solución. Las soluciones suaves requieren una información máxima: en el caso de Navier-Stokes, requieren que se tenga un vector en cada punto del campo vectorial asociado al fluido. Pero ¿y si se aflojan los requisitos y se establece que solo se necesita que se pueda calcular  un vector para algunos puntos o que basta con obtener vectores aproximados? A este tipo de soluciones se las llama «débiles». Los matemáticos pueden empezar así a hacerse una idea del comportamiento de una ecuación sin tener que pechar con todo el trabajo de hallar soluciones suaves (lo cual puede ser imposible en la práctica).

«Desde un cierto punto de vista, las soluciones débiles son hasta más fáciles de describir que las verdaderas soluciones porque hay que saber mucho menos», dice Camillo De Lellis, coautor con László Székelyhidi de varios artículos importantes que pusieron los cimientos del trabajo de Buckmaster y Vicol.

Hay gradaciones de la debilidad de las soluciones débiles. Si se ve una solución suave como una imagen matemática de un fluido hasta una resolución infinitamente grande, las soluciones débiles serán entonces como la versión de 32, 16 u 8 bits de esa imagen (dependiendo de la debilidad que se les permita tener).

En 1934, el matemático francés Jean Leray definió una clase importante de soluciones débiles. En vez de trabajar con vectores exactos, las «soluciones de Leray» toman el valor medio de los vectores en pequeños entornos dentro del campo vectorial. Leray probó que siempre es posible resolver las ecuaciones de Navier-Stokes cuando se permite que las soluciones tomen esa forma particular. En otras palabras, las soluciones de Leray no explotan nunca.

El logro de Leray estableció un nuevo enfoque al problema de Navier-Stokes: empiécese por las soluciones de Leray, de las que se sabe que existen siempre, y véase si se puede convertirlas en solucione suaves, de las que se quiere probar que existen siempre. Es un proceso similar  a empezar con una imagen basta y ver si se puede afinar la resolución y obtener una imagen perfecta de algo real.

«Una estrategia posible consistiría en demostrar que esas soluciones débiles de Leray son suaves, y si demuestras que son suaves, habrás resuelto el problema del milenio», dice Buckmaster.

Hay una trampa más. Las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes corresponden a sucesos físicos reales, y los sucesos físicos ocurren de una y solo de una manera. Como es así, se querrá que las ecuaciones tengan un único conjunto de soluciones. Si las ecuaciones dan múltiples soluciones posibles, es que fallan.

Por esto, los matemáticos podrán valerse de las soluciones de Leray para resolver el problema del milenio solo si las soluciones de Leray son únicas. Que las soluciones de Leray no fuesen únicas significaría que, según las reglas de Navier-Stokes, exactamente el mismo fluido con exactamente las mismas condiciones de partida podría terminar en dos estados físicos distintos, lo que no tiene sentido físico y de lo que se seguiría que las ecuaciones no describen en realidad lo que se supone que describen.

El nuevo resultado de Buckmaster y Vicol es el primero que indica que, para ciertas definiciones de solución débil, eso es lo que podría pasar.

Muchos mundos

En el nuevo artículo, Buckmaster y Vicol tomaron en cuenta soluciones más débiles aún que las de Leray: se basan en el mismo principio promediador  que las de Leray, pero relajan un requisito adicional (la llamada desigualdad de la energía). Usan un método conocido como integración convexa, que tiene sus orígenes en los trabajos sobre geometría del matemático John Nash y que De Lellis y Székelyhidi llevaron recientemente al estudio de los fluidos.

Con este enfoque, Buckmaster y Vicol demuestran que esas soluciones muy débiles de las ecuaciones de Navier-Stokes no son únicas. Demuestran, por ejemplo, que si se empieza con un fluido completamente en calma, como un vaso de agua tranquilamente posado junto a la cama, hay dos situaciones posibles. La primera es la evidente: el agua empieza en calma y en calma sigue para siempre. La segunda es fantástica, pero matemáticamente permisible: el agua empieza en calma, sufre una erupción en medio de la noche y vuelve a la calma.

«Esto demuestra que no hay unicidad, ya que a partir de unos datos iniciales nulos se pueden construir al menos dos objetos», dice Nicol.

Buckmaster y Vicol demuestran la existencia de muchas soluciones débiles no únicas (no solo las dos descritas antes) de las ecuaciones de Navier-Stokes. La relevancia de este resultado está por ver. Llegado cierto punto, las soluciones débiles pueden llegar a serlo tanto que dejen de ser de verdad relevantes para las soluciones más suaves que quieren imitar. Si es así, el resultado de Buckmaster y Vicol podría no ir muy lejos.

«Su resultado es ciertamente una advertencia, pero se podría argüir que es una advertencia sobre la noción más débil de solución débil. Hay muchos estratos [de soluciones más fuertes] en los que todavía cabe esperar un comportamiento mucho mejor» de las ecuaciones de Navier-Stokes, dice De Llelis.

Buckmaster y Vicol piensan también en estratos, y han puesto su mira en las soluciones de Leray, en probar que también estas permiten una física de múltiples trayectorias en la que el mismo fluido puede tomar a partir de la misma posición más de una forma futura.

«Tristan y yo pensamos que las soluciones de Leray no son únicas. No lo hemos demostrado todavía, pero nuestro trabajo está poniendo los fundamentos de cómo se puede atacar el problema», dice Vicol.

Kevin Hartnett/Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Fuente: «Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation», de  Tristan Buckmaster y Vlad Nicol en arXiv:1709.10033 [math.AP].

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