El matemático que inventó los números complejos

¿Se imaginan a los matemáticos celebrando concursos de problemas en las plazas públicas seguidos con pasión por miles de ciudadanos? Por raro que parezca, esto ocurría en la primera mitad del siglo XVI en Italia, en ciudades como Bolonia y Milán. Los desafíos empezaban cuando se dejaba un escrito (una cartella) en una puerta de alguna iglesia, a forma de reto; y concluían con el enfrentamiento dialéctico de los matemáticos, en un acto público seguido por cientos de ciudadanos. Muchos de los problemas matemáticos objeto de disputa estuvieron relacionados con la búsqueda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado (es decir, aquellas en las que el grado máximo de las variables es tres o cuatro, respectivamente). Durante siglos, grandes matemáticos, de la talla de Gauss y Euler, trataron de dar con una fórmula general para resolverlas y, en el camino, surgieron conceptos fundamentales como los números imaginarios (o complejos) y la teoría de grupos.

En la escuela se aprende la fórmula para calcular las dos raíces de una ecuación de segundo grado, pero para tercer y cuarto grado no es igual de sencillo dar con una fórmula análoga, que de las soluciones de forma explícita y sola usando las operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, potencia y raíces). Para quinto grado, y superiores, ahora se sabe que no existe dicha expresión, pero para llegar a esa conclusión tuvieron que pasar muchos años de investigación matemática.

Uno de los grandes científicos involucrados en este reto intelectual fue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli (1526, Bolonia – 1572, Roma). En alguno de sus descansos, motivado por la paralización momentánea de alguna obra de ingeniería, Bombelli decidió escribir un libro de álgebra. Había leído detalladamente el Ars Magna, del médico y matemático Gerolamo Cardano, en la que incluía la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado; la Arithmetica de Diofanto de Alejandría (nacido alrededor del 200/214 d. C. y fallecido entre el 284 y 298 d. C.), de la que hizo una completa traducción; y básicamente todo lo escrito sobre el tema.

En sus estudios algebraicos, de forma secundaria, dio con una de sus principales contribuciones a las matemáticas: la creación de los números complejos. Estos aparecen al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo, en la ecuación x2= -1, las soluciones son la raíz cuadrada de -1. Evidentemente, no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, lo que contrariaba tremendamente a los matemáticos de siglo XVI. Las soluciones están en un cuerpo de números desconocidos hasta entonces: los números imaginarios o complejos. De forma general los números complejos tienen una parte real y otra imaginaria, y se pueden escribir como c= a + bi, donde i es la raíz de -1, la unidad imaginaria. En este caso, a sería la parte real y b la parte imaginaria del número c.

Los números complejos aparecen al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una raíz cuadrada de un número negativo

Las raíces de números negativos aparecían en los escritos de Cardano, pero consideraba que eran “tan sutiles que eran inútiles”, y no investigó más sobre ellos. Sin embargo, Bombelli desarrolló la aritmética de los números complejos, descubriendo las reglas de su suma y su multiplicación. Para trabajar con estos números, inventó una sofisticada notación. En palabras del ilustre matemático Gottfried Leibniz, creador del cálculo diferencial, Bombelli se adelantó a su tiempo.

Bombelli no encontró las reglas de los complejos al estudiar las ecuaciones de segundo grado, sino las de tercero, como x3 = 15 x+4. La ecuación tiene una primera solución sencilla, 4. Pero usando fórmula de Cardano se obtenía otra solución, en la que aparecía una suma de dos raíces cúbicas y la raíz cuadrada de -121. Bombelli denotó 2 + √-121 = (2+√-1)3 y 2 – √-121 = (2-√-1)3 . Aplicando las reglas adecuadas de suma y multiplicación, encontró soluciones que hasta entonces no se entendían.

Los matemáticos no habían sido capaces de ver la utilidad de esta construcción abstracta, pero, Bombelli, con su mentalidad de ingeniero, ideó los números complejos porque le resultaban necesarios para sus cálculos. Así surgen algunos avances matemáticos, de la necesidad de nuevos instrumentos para tratar fenómenos físicos o aplicaciones a la ingeniería.

Bombelli se refería a los números imaginarios +√-1 y –√-1 como “più di meno” y “meno di meno”. Fue el gran matemático Leonhard Euler el primero que denotó a la raíz cuadrada de (-1) como i, en 1777, quién además se dedicó a estudiarlos en profundidad (su fórmula, una de las más bellas de las matemáticas, los relaciona con el número e y con π). Los números complejos son un objeto básico de las matemáticas, que aparece en numerosas ramas de la investigación (geometría compleja, análisis complejo, fractales, circuitos eléctricos, por ejemplo).

Manuel de León es director del ICMAT. Ágata Timón es responsable de comunicación y divulgación del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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