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En qué consiste la conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge fue inicialmemente planteada por W. Hodge en el International Congress of Mathematicians del año 1950, en Cambridge, y desde ese entonces permanece abierta y sin solución.

Este es uno de los siete Problemas del Milenio y quien alcance su solución puede hacerse acreedor de un premio de un millón de dólares.

La conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge está dentro de una zona de las matemáticas en donde interaccionan la geometría algebraica y la geometría diferencial.

En esta zona se recopilan ciertas ideas de la geometría aritmética, (como las conjeturas estandar de Grothendieck o las teorías de motivos), de la topología algebraica, de la física matemática (se tienen en cuenta las teorías gauge y las mirror symmetry), de la geometría compleja y de la teoría de las ecuaciones diferenciales en variedades.

Este es un problema de enorme interés, porque reúne varias conexiones de diferentes áreas y porque al intentar descifrarla se han realizado grandes avances en el estudio de la geometría.

De todas formas, aún no existe una idea clara y definida de cuál debe ser la línea de pensamiento que puede llevar a una solución satisfactoria. Ni siquiera se tiene claro si la probable solución vendrá de la mano de técnicas vinculadas a la geometría algebraica o otras técnicas analíticas de la geometría diferencial. Existen opiniones expertas que indican que quizás no pueda ser probada, o al menos refutada.

Para poder probar una conjetura se necesita, en principio, hacerse una idea de cuán plausible puede ser y las esperanzas de diferentes matemáticos dependen exclusivamente de su visión personal sobre el tema.

Por ejemplo, los comentarios de Alexandre Grothendieck y de André Weil son realmente contrapuestos.

“La Conjetura de Hodge es suficientemente plausible y, mientras no sea refutable, debe considerarse la conjetura más profunda en la teoría analítica de las variedades algebraicas”.

Realmente, la visión de Grothendieck es muy positiva en relación con el problema y está sumamente influenciada por su visión algebraica de los problemas de la geometría compleja.

En cambio Weil contrapone otro tipo de consideración:

“La pregunta que plantea la Conjetura de Hodge es muy natural, sin embargo, a pesar del apelativo de conjetura, no hay, que yo sepa, ninguna sombra de razón de creer en ella; se haría un favor a los geómetras si se pudiera zanjar la cuestión por medio de un contraejemplo”.

De hecho, Weil entiende que se agrega con mucha alegría el apelativo de conjetura a lo que debería considerarse tan solo preguntas matemáticas y expone que en este caso en particular, no existe ninguna razón (exceptuando algunos pocos ejemplos en los que realmente se satisface) para creer que la Conjetura de Hodge es cierta.