Una gráfica de soluciones de la «curva maldita» [Jennifer Balakrishnan y Sachi Hashimoto, realizada con SageMath].
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Grandes matemáticos Jul/Sep 1995 Nº 1
Descubre en este monográfico las reflexiones y contribuciones de algunas de las mentes más brillantes de la historia de las matemáticas: H. Poincaré, Leonardo de Pisa, R. Descartes, P. de Fermat, G. Monge, A. Weil, C. F. Gauss, J. B. Fourier, A.-L. Cauchy, R. Penrose, E. Galois, G. Cantor, G. Frege y S. Ramanujan.
Las demostraciones matemáticas son elaborados argumentos teóricos que a menudo dicen poco acerca de números y cálculos de verdad, esos valores concretos en los que los no matemáticos ven «la solución de un problema de matemáticas». En ocasiones, sin embargo, las pruebas teóricas conducen a resultados explícitos. Así ha pasado en una apasionante serie de desarrollos que llegaron a su culminación el mes pasado.
La historia transcurre en la disciplina matemática conocida como teoría de números. El lado teórico incluye algunas nuevas y fascinantes ideas de Minhyong Kim, matemático de la Universidad de Oxford.
Kim trabaja en una parte muy abstracta de las matemáticas, pero el objetivo de su trabajo se puede decir en realidad de manera muy clara y simple: dar con un método que encuentre todas las soluciones racionales de determinados tipos de ecuaciones.
Los números racionales, por si hace falta recordarlo, son los que se pueden escribir como una fracción. Así, una solución racional de la ecuación x2+y2=1 es x=3/5, y=4/5.
El problema con el que lucha Kim se remonta hasta Diofanto de Alejandría, que estudió en el siglo III después de Cristo las «ecuaciones diofantinas», las ecuaciones polinómicas con varias variables que tienen soluciones que son números enteros o, más en general, racionales. El resultado reciente más significativo es una reformulación, importante pero sin contemplaciones, del problema: en 1986 Gerd Faltings ganó la medalla Fields, la máxima distinción matemática, en esencia por haber demostrado que ciertas clases de ecuaciones diofantinas tienen solo un número finito de soluciones racionales (en vez de infinitas).
La prueba de Faltings es de las que los matemáticos llaman «no efectivas», en el sentido de que no cuenta en realidad las soluciones racionales, y, por supuesto, no dice cuáles son. En la teoría de números, la gran mayoría de las pruebas son también no efectivas. Este tipo de demostración aparece sobre todo cuando los matemáticos argumentan por medio de la contradicción: si hay infinitas soluciones racionales, entonces resulta que se tiene una contradicción lógica; por lo tanto, solo puede haber un número finito de soluciones racionales. (Y que tengas buena suerte si quieres encontrarlas).
Desde que Faltings obtuvo su resultado, los matemáticos vienen buscando métodos «efectivos» para hallar las soluciones racionales de las ecuaciones diofantinas, y Kim tiene una de las ideas más prometedoras. Se inspira en la física: imagina las soluciones racionales como una especie de trayectoria que la luz recorrería entre dos puntos.
Kim sostiene que debería ser posible partir de una ecuación diofantina y construir algún otro objeto geométrico basado en ella (denominado variedad de Selmer) tal que la ecuación y el nuevo objeto se crucen precisamente en los puntos que representan las soluciones racionales. Kim lleva desarrollando la idea desde hace más de diez años, y los matemáticos sentían la curiosidad de ver si realmente funcionaría en la práctica.
Ahora tienen la confirmación de que funciona.
El mes pasado, un equipo de matemáticos (Jennifer Balakrishnan, Netan Dogra, J. Steffen Müller, Jan Tuitman y Jan Vonk) encontró las soluciones racionales de una curva diofantina famosa por su dificultad, la «curva maldita». La importancia de esta en matemáticas deriva de una cuestión planteada en 1972 por el importante matemático Jean-Pierre Serre. Los matemáticos han venido haciendo constantes progresos en la cuestión de Serre en los últimos cuarenta y tantos años, pero interviene una ecuación que no podían abordar: la curva maldita. (Para hacerse una idea de lo complicadas que llegan a ser estas ecuaciones diofantinas, merece la pena escribir la ecuación de la curva maldita: y4+5x4− 6x2y2+ 6x3z+ 26x2yz+10xy2z− 10y3z− 32x2z2−40xyz2+24y2z2+32xz3−16yz3=0).
En 2002, el matemático Steven Galbraith dio con siete soluciones racionales de la curva maldita, pero quedaba por hacer una tarea más importante y ardua: probar que esas siete eran las únicas (o encontrar las otras si había más).
Los autores del nuevo trabajo siguieron el enfoque general de Kim. Construyeron un objeto geométrico específico que corta la gráfica de la curva maldita justo en los puntos asociados a las soluciones racionales. «En sus artículos, Minhyong se dedica a la fundamentación, a cuestiones teóricas. Estamos traduciendo los objetos que aparecen en sus trabajos a estructuras que podemos convertir en programas de ordenador y calcular explícitamente», dice Balakrishnan, matemática de la Universidad de Boston. El proceso demostró que esas siete soluciones racionales son, en efecto, las únicas.
Kiran Kedlaya, matemático de la Universidad de California en San Diego, dice del artículo que marca un antes y un después en el estudio de las ecuaciones diofantinas. No solo demuestra resultados para la curva maldita, sino que establece algo más: que el método de Kim funciona de verdad. Ahora hay que ver aún qué ecuaciones resolverá a continuación.
Kevin Harnett/Quanta Magazine
Artículo traducido por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.
Fuente: «Explicit Chabauty-Kim for the Split Cartan Modular Curve of Level 13», de Jennifer Balakrishnan et al en arXiv:1711.05846 [math.NT].
